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機械之美——機械時期的計算設備

本文刊載于《上海財經大學博物館館刊》2018年11月（第一期），網絡版為 《機械之美——機械時期的計算設備》 。

所謂計算機，顧名思義，就是用于計算的機器。誠然現在的計算機應用已經遠遠超出了計算本身，不論是電腦、平板、還是手機，我們天天靠著它們看電影、聽音樂、交流感情，看似與計算已經毫無關系，但事實上最初計算機的誕生就是為了滿足人們對數學計算的需求，而如今計算機這些強大功能的底層實現，也依舊靠的是數學計算，這也是為什么我們仍然保留著「計算機」這一稱呼的原因吧。

遠古時代，原始人為了搞清楚獵物的數目就已經與計算攀上了關系，他們用手指計數，用結繩記事。到了古代，人們又發明了算籌、算盤等簡單工具，借助復雜的使用方法，求解復雜的問題。至此，人們在計算時不光要動手，還要動腦，甚至動口（念口訣），必要時還得動筆（記錄中間結果），人工成本很高。

到了17世紀，人們終于開始嘗試使用機械裝置完成一些簡單的數學運算（加減乘除）——可不要小看了只能做四則運算的機器，計算量大時，如果數值達到上萬、上百萬，手工計算十分吃力，而且容易出錯，這些機器可以大大減輕人工負擔、降低出錯概率。

機械裝置的歷史其實相當久遠，在我國，黃帝和蚩尤打仗時就發明了指南車，東漢張衡的地動儀、渾天儀、記里鼓車（能自動計算行車里程），北宋時期蘇頌、韓公廉發明的水運儀象臺（天文鐘），數不勝數，其中好多發明事實上已經實現了某些特定的計算功能。然而所謂工具都是應需求而生的，我國古代機械水平再高，對計算（尤其是大批量計算）沒有需求也難為無米之炊，真正的通用機械計算設備還得在西方進入資本主義后逐漸出現。

那個時候，西方資產階級為了奪取資源、占據市場，不斷擴大海外貿易，航海事業蓬勃興起，航海就需要天文歷表。在那個沒有電子計算機的時代，一些常用的數據通常要通過查表獲得，比如買粉絲s27°，不像現在這樣掏出手機打開計算器APP就能直接得到答案，從事特定行業、需要這些常用數值的人們就會購買相應的數學用表（從簡單的加法表到對數表和三角函數表等等），以供查詢。而這些表中的數值，是由數學家們借助簡單的計算工具（如納皮爾棒）一個個算出來的，算完還要核對。現在想想真是蛋疼，腦力活硬生生淪為苦力活。而但凡是人為計算，總難免會有出錯，而且還不少見，常常釀成航海事故。機械計算設備就在這樣的迫切的需求背景下應運而生。

研制時間：1623年~1624年

契克卡德是現今公認的機械式計算第一人，你也許沒聽說過他，但肯定知道開普勒吧，對，就是那個天文學家開普勒。契克卡德和開普勒出生在同一城市，兩人既是生活上的好基友，又是工作上的好伙伴。正是開普勒在天文學上對數學計算的巨大需求促使著契克卡德去研發一臺可以進行四則運算的機械計算器。

契克卡德計算鐘支持六位整數計算，主要分為加法器、乘法器和中間結果記錄裝置三部分。其中位于機器底座的中間結果記錄裝置是一組簡單的置數旋鈕，純粹用于記錄中間結果，僅僅是為了省去計算過程中筆和紙的參與，沒什么可說的，我們詳細了解一下加法器和乘法器的實現原理和使用方法。

乘法器部分其實就是對納皮爾棒的改進，簡單地將乘法表印在圓筒的十個面上，機器頂部的旋鈕分有10個刻度，可以將圓筒上代表0~9的任意一面轉向使用者，依次旋轉6個旋鈕即可完成對被乘數的置數。橫向有2~9八根擋板，可以左右平移，露出需要顯示的乘積。以1971年的紀念郵票上的圖案為例，被乘數為100722，乘以4，就移開標數4的那根擋板，露出100722各位數與4相乘的積：04、00、00、28、08、08，心算將其錯位相加得到最終結果402888。

加法器部分通過齒輪實現累加功能，6個旋鈕同樣分有10個刻度，旋轉旋鈕就可以置六位整數。需要往上加數時，從最右邊的旋鈕（表示個位）開始順時針旋轉對應格數。以筆者撰寫該部分內容的時間（7月21日晚9:01）為例，計算721+901，先將6個旋鈕讀數置為000721：

隨后最右邊的（從左數第六個）旋鈕順時針旋轉1格，示數變為000722：

第五個旋鈕不動，第四個旋鈕旋轉9格，此時該旋鈕超過一圈，指向數字6，而代表百位的第三個旋鈕自動旋轉一格，指向數字1，最終結果即001622：

這一過程最關鍵的就是通過齒輪傳動實現的自動進位。契克卡德計算鐘使用單齒進位機構，通過在齒輪軸上增加一個小齒實現齒輪之間的傳動。加法器內部的6個齒輪各有10個齒，分別表示0~9，當齒輪從指向數字9的角度轉動到0時，軸上突出的小齒將與旁邊代表更高位數的齒輪嚙合，帶動其旋轉一格（36°）。

相信聰明的讀者已經可以想到減法怎么做了，沒錯，就是逆時針旋轉加法器的旋鈕，單齒進位機構同樣可以完成減法中的借位操作。而用這臺機器進行除法就有點「死腦筋」了，你需要在被除數上一遍又一遍不斷地減去除數，自己記錄減了多少次、剩余多少，分別就是商和余數。

由于乘法器單獨只能做多位數與一位數的乘法，加法器通常還需要配合乘法器完成多位數相乘。被乘數先與乘數的個位相乘，乘積置入加法器；再與乘數十位數相乘，乘積后補1個0加入加法器；再與百位數相乘，乘積后補2個0加入加法器；以此類推，最終在加法器上得到結果。

總的來說，契克卡德計算鐘結構比較簡單，但也照樣稱得上是計算機史上的一次偉大突破。而之所以被稱為計算鐘，是因為當計算結果溢出時，機器還會發出響鈴警告，在當時算得上十分智能了。可惜的是，契克卡德制造的機器在一場火災中燒毀，一度鮮為人知，后人從他在1623年和1624年寫給開普勒的信中才有所了解，并復制了模型機。

研制時間：1642年~1652年

1639年，帕斯卡的父親開始從事稅收方面的工作，需要進行繁重的數字相加，明明現在Excel里一個公式就能搞定的事在當時卻是件大耗精力的苦力活。為了減輕父親的負擔，1642年起，年方19的帕斯卡就開始著手制作機械式計算器。剛開始的制作過程并不順利，請來的工人只做過家用的一些粗糙機械，做不來精密的計算器，帕斯卡只好自己上手，親自學習機械制作。

現在想想那個生產力落后的時代，這些天才真心牛逼，他們不僅可以是數學家、物理學家、天文學家、哲學家，甚至還可能是一頂一的機械師。

帕斯卡加法器，顧名思義，只實現了加減法運算，按理說原理應該非常簡單，用契克卡德的那種單齒進位機構就可以實現。而帕斯卡起初的設計確實與單齒進位機構的原理相似（盡管他不知道有契克卡德計算鐘的存在）——長齒進位機構——齒輪的10個齒中有一個齒稍長，正好可以與旁邊代表更高數位的齒輪嚙合，實現進位，使用起來與計算鐘的加法器一樣，正轉累加，反轉累減。

但這一類進位機構有著一個很大的缺陷——齒輪傳動的動力來自人手。同時進行一兩個進位還好，若遇上連續進位的情況，你可以想象，如果999999+1，從最低位一直進到最高位，進位齒全部與高位齒輪嚙合，齒輪旋轉起來相當吃力。你說你力氣大，照樣能轉得動旋鈕沒問題，可齒輪本身卻不一定能承受住這么大的力，搞不好容易斷裂。

為了解決這一缺陷，帕斯卡想到借助重力實現進位，設計了一種叫做s買粉絲ir的裝置，s買粉絲ir這詞來自法語sauter（意為「跳」）。這種裝置在執行進位時，先由低位齒輪將s買粉絲ir抬起，而后掉落，s買粉絲ir上的爪子推動高位齒輪轉動36°，整個過程s買粉絲ir就像蕩秋千一樣從一個齒輪「跳」到另一個齒輪。

這種只有天才才能設計出來的裝置被以后一百多年的許多機械師所稱贊，而帕斯卡本人對自己的發明就相當滿意，他號稱使用s買粉絲ir進位機構，哪怕機器有一千位、一萬位，都可以正常工作。連續進位時用到了多米諾骨效應，理論上確實可行，但正是由于s買粉絲ir裝置的存在，齒輪不能反轉，每次使用前必須將每一位（注意是每一位）的齒輪轉到9，而后末位加1用連續進位完成置零——一千位的機器做出來恐怕也沒人敢用吧！

既然s買粉絲ir裝置導致齒輪無法反轉，那么減法該怎么辦呢？帕斯卡開創性地引入了沿用至今的補碼思想。十進制下使用補九碼，對于一位數，1的補九碼就是8，2的補九碼是7，以此類推，原數和補碼之和為9即可。在n位數中，a的補九碼就是n個9減去a，以筆者撰寫該部分內容的日期（2015年7月22日）為例，20150722的8位補九碼是99999999 - 20150722 = 79849277。觀察以下兩個公式：

a-b的補碼就是a的補碼與b的和，如此，減法便可以轉化為加法。

帕斯卡加法器在顯示數字的同時也顯示著其所對應的補九碼，每個輪子身上一周分別印著9~0和0~9兩行數字，下面一行該位上的表示原數，上面一行表示補碼。當輪子轉到位置7時，補碼2自然顯示在上面。

帕斯卡加了一塊可以上下移動的擋板，在進行加法運算時，擋住表示補碼的上面一排數，進行減法時就擋住下面一排原數。

加法運算的操作方法與契克卡德計算鐘類似，唯一不同的是，帕斯卡加法器需要用小尖筆去轉動旋鈕。這里主要說一說減法怎么做，以筆者撰寫該部分內容的時間（2015年7月23日20:53）為例，計算150723 - 2053。

置零后將擋板移到下面，露出上面表示補碼的那排數字：

輸入被減數150723的補碼849276，上排窗口顯示的就是被減數150723：

加上被減數2053，實際加到了在下排的補碼849276上，此時上排窗口最終顯示的就是減法結果148670：

整個過程用戶看不到下面一排數字，其實玄機就在里頭，原理挺簡單，09一輪回，卻很有意思。

研制時間：1672年~1694年

由于帕斯卡加法器只能加減，不能乘除，對此萊布尼茨提出過一系列改進的建議，終究卻發現效果不大。就好比自己寫一篇文章很簡單，要修改別人的文章就麻煩了。那么既然改進不成，就重新設計一臺吧！

為了實現乘法，萊布尼茨以其非凡的創新思維想出了一種具有劃時代意義的裝置——梯形軸（stepped drum），后人稱之為萊布尼茨梯形軸。萊布尼茨梯形軸是一個圓筒，圓筒表面有九個長度遞增的齒，第一個齒長度為1，第二個齒長度為2，以此類推，第九個齒長度為9。這樣，當梯形軸旋轉一周時，與梯形軸嚙合的小齒輪旋轉的角度就可以因其所處位置（分別有0~9十個位置）不同而不同。代表數字的小齒輪穿在一個長軸上，長軸一端有一個示數輪，顯示該數位上的累加結果。置零后，滑動小齒輪使之與梯形軸上一定數目的齒相嚙合：比如將小齒輪移到位置1，則只能與梯形軸上長度為9的齒嚙合，當梯形軸旋轉一圈，小齒輪轉動1格，示數輪顯示1；再將小齒輪移動到位置3，則與梯形軸上長度為7、8、9的三個齒嚙合，小齒輪就能轉動3格，示數輪顯示4；以此類推。

除了梯形軸，萊布尼茨還提出了把計算器分為可動部分和不動部分的思想，這一設計也同樣被后來的機械計算器所沿用。萊布尼茨計算器由不動的計數部分和可動的輸入部分組成，機器版本眾多，以德意志博物館館藏的復制品為例：計數部分有16個示數輪，支持16位結果的顯示；輸入部分有8個旋鈕，支持8位數的輸入，里頭一一對應地安裝著8個梯形軸，這些梯形軸是聯動的，隨著機器正前方的手柄一同旋轉。機器左側的手柄借助蝸輪結構實現可動部分的左右平移，手柄每轉一圈，輸入部分移動一個數位的距離。

進行加法運算時，先在輸入部分通過旋鈕置入被加數，計算手柄旋轉一周，被加數即顯示到上方的計數部分，再將加數置入，計算手柄旋轉一周，就得到計算結果。減法操作類似，計算手柄反轉即可。

進行乘法運算時，在輸入部分置入被乘數，計算手柄旋轉一周，被乘數就會顯示到計數部分，計算手柄旋轉兩周，就會顯示被乘數與2的乘積，因此在乘數是一位數的情況下，乘數是多少，計算手柄旋轉多少圈即可。那么如果乘數是多位數呢？這就輪到移位手柄登場了，以筆者撰寫該部分內容的日期（7月28日）為例，假設乘數為728：計算手柄先旋轉8周，得到被乘數與8的乘積；而后移位手柄旋轉一周，可動部分左移一個數位，輸入部分的個位數與計數部分的十位數對齊，計算手柄旋轉2周，相當于往計數部分加上了被乘數與20的乘積；依法炮制，可動部分再左移，計算手柄旋轉7周，即可得到最終結果。

可動部分右側有個大圓盤，外圈標有0~9，里圈有10個小孔與數字一一對應，在對應的小孔中插入銷釘，可以控制計算手柄的轉動圈數，以防操作人員轉過頭。在進行除法時，這個大圓盤又能顯示計算手柄所轉圈數。

進行除法運算時，一切操作都與乘法相反。先將輸入部分的最高位與計數部分的最高位（或次高位）對齊，逆時針旋轉計算手柄，旋轉若干圈后會卡住，可在右側大圓盤上讀出圈數，即為商的最高位；逆時針旋轉位移手柄，可動部分右移一位，同樣操作得到商的次高位數；以此類推，最終得到整個商，計數部分剩下的數即為余數。

最后提一下進位機構，萊布尼茨計算器的進位機構比較復雜，但基本就是單齒進位的原理。然而萊布尼茨沒有實現連續進位，當產生連續進位時，機器頂部對應的五角星盤會旋轉至角朝上的位置（無進位情況下是邊朝上），需要操作人員手動將其撥動，完成向下一位的進位。

研制時間：1818年~1820年

以往的機械式計算器通常只是發明者自己制作了一臺或幾臺原型，帕斯卡倒是有賺錢的念頭，生產了20臺加法器，但是根本賣不出去，這些機器往往并不實惠，也不好用。托馬斯是將機械式計算器商業化并取得成功的第一人，他不僅成為了機械式計算器的發明家，更成為了牛逼的企業家（創辦了當時法國最大的保險公司）。從商之前，托馬斯在法國軍隊從事過幾年部隊補給方面的工作，需要進行大量的運算，正是在這期間萌生了制作計算器的念頭。他從1818年開始設計，于1820年制成第一臺，次年生產了15臺，往后持續生產了約100年。

托馬斯四則計算器基本采用萊布尼茨的設計，同樣使用梯形軸，同樣分為可動和不動兩部分。

所不同的是， 它的手柄在加減乘除情況下都是順時針旋轉，示數輪的旋轉方向通過與不同方向的齒輪嚙合而改變。

此外，托馬斯還做了許多細節上的改進（包括實現了連續進位），量產出來的機器實用、可靠，因而能獲得巨大成功。

研制時間：1874年

萊布尼茨梯形軸雖然好用，但由于其長筒狀的形態，機器的體積通常很大，某些型號的托馬斯四則計算器擺到桌子上甚至要占掉整個桌面，而且需要兩個人才能安全搬動，亟需一種更輕薄的裝置代替梯形軸。

這一裝置就是后來的可變齒數齒輪（variable-toothed gear），在17世紀末到18世紀初，有很多人嘗試研制，限于當時的技術條件，沒能成功。直到19世紀70年代，真正能用的可變齒數齒輪才由鮑德溫和奧德納分別獨立制成。該裝置圓形底盤的邊緣有著9個長條形的凹槽，每個凹槽中卡著可伸縮的銷釘，銷釘掛接在一個圓環上，轉動圓環上的把手即可控制銷釘的伸縮，這樣就可以得到一個具有0~9之間任意齒數的齒輪。

齒輪轉一圈，旁邊的被動輪就轉動相應的格數，相當于把梯形軸壓成了一個扁平的形狀。梯形軸必須并排放置，而可變齒數齒輪卻可以穿在一起，大大縮減了機器的體積和重量。此類計算機器在1885年投產之后風靡世界，往后幾十年內總產量估計有好幾萬臺，電影《橫空出世》里陸光達計算原子彈數據時所用的機器就是其中之一。

研發時間：1884年~1886年

上述的機器似乎已經發展到十分完美的程度了，可與今人概念中的計算操作始終存在著一道巨大屏障——沒有按鍵。

好在那個年代的人們發現旋鈕置數確實不太方便，最早提出按鍵設計的應該是美國的一個牧師托馬斯·希爾（Thomas Hill），計算機史上有關他的記載貌似不多，好在還能找到他1857年的專利，其中詳細描述了按鍵式計算器的工作原理。起初菲爾特只是根據希爾的設計簡單地將按鍵裝置裝到帕斯卡加法器上，第一臺菲爾特自動計算器就這么誕生了。

菲爾特自動計算器采用的是“全鍵盤”設計（也就是希爾提出的設計），每個數位都有1~9九個按鍵（0不需要置數），某個數位要置什么數，就按下該數位所對應的一列按鍵中的一個。每列按鍵都裝在一根杠桿上，杠桿前端有一個叫做Column Actuator的齒條，按下按鍵帶動杠桿擺動，與Column Actuator嚙合的齒輪隨之旋轉一定角度。按鍵1~9按下時杠桿擺動的幅度遞增，示數輪隨之轉動的幅度也遞增，如此就實現了按鍵操作到齒輪旋轉的轉化。

1889年，菲爾特又發明了世界上第一臺能在紙帶上打印計算結果的機械式計算器——Comptograph，相當于給計算器引入了存儲功能。

1901年，人們開始給一些按鍵式計算器裝上電動馬達，計算時不再需要手動搖桿，冠之名曰「電動計算機」，而此前的則稱為「手搖計算機」。

1902年，出現了將鍵盤簡化為「十鍵式」的道爾頓加法器，不再是每一位數需要一列按鍵，大大精簡了用戶界面。

1961年，菲爾特自動計算器被改進為電子計算器，卻依然保留著「全鍵盤」設計。

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