02 概率論每日一題買粉絲(X＋y＝50，6x＋4y＝230 要過程)

（3）利用定積分可以求解極限題目，之前在講解極限以及每日一題的時候有提到過相關的原理和操作，下面有鏈接，此處不再重復：

10分鐘掌握高等數學上冊函數極限求解問題（考研、期末復習均可以用）

大學數學每日一題——微積分1208

二、定積分的性質

1、 \int_{ a}^{ a}f(x)dx=0 ，\int_{ a}^{ b}f(x)dx=-\int_{ b}^{ a}f(x)dx

2、若 f(x) 可積，\int_{ a}^{ b}f(x)dx=\int_{ a}^{ c}f(x)dx+\int_{ c}^{ b}f(x)dx

3、若 f(x) 可積且f(x)\geq0，則 \int_{ a}^{ b}f(x)dx\geq0 ；若 f(x) 不恒等于 0 時， \int_{ a}^{ b}f(x)dx>0

4、若 f(x),g(x) 可積>f(x)\geq g(x)， \int_{ a}^{ b}f(x)dx\geq\int_{ a}^{ b}g(x)dx ，若 f(x) 不恒等于 g(x) 時， \int_{ a}^{ b}f(x)dx>\int_{ a}^{ b}g(x)dx

5、若 f(x) 可積，則 \left| \int_{ a}^{ b}f(x)dx \right|\leq \int_{ a}^{ b}\left| f(x) \right|dx

6、設f(x) 可積，且 m\leq f(x)\leq M ，則 m(b-a)\leq \int_{ a}^{ b}f(x)dx\leq (b-a)M

7、積分中值定理

設 f(x) 在 [a,b] 上連續，則存在 \xi\in[a,b] 使得 \int_{ a}^{ b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)

注：積分中值定理是針對閉區間的定理，當然也有針對開區間的中值定理，下面進行證明

例題：

設 f(x) 在 [a,b] 上連續，求證存在 \xi\in(a,b) 使得 \int_{ a}^{ b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)

解答：

設 F(x)=\int_{ a}^{ x}f(t)dt ， F'(x)=f(x) ，根據拉格朗日中值定理可知：

存在 \xi\in(a,b)，使得 \frac{ F(b)-F(a)}{ b-a}=F'(\xi) ，即：

\frac{ \int_{ a}^{ b}f(x)dx-\int_{ a}^{ a}f(x)dx}{ b-a}=f(\xi) ，即

\int_{ a}^{ b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)

大家在進行解題的時候應該注意題目要求的是證明開區間還是閉區間內的中值定理

8、柯西不等式

f(x),g(x) 在 [a,b] 上連續，則

(\int_{ a}^{ b}f(x)g(x)dx)^{ 2}\leq\int_{ a}^{ b}f^{ 2}(x)dx\int_{ a}^{ b}g^{ 2}(x)dx

以上8個性質在證明題中均可以直接使用

三、定積分求解方法

定積分的求解中涉及方法較多，最常見的是牛頓萊布尼茲公式，通過求出原函數來進行求解，除了牛頓，定積分的求解還涉及到很多不需要求解出原函數，而是通過定積分的特殊性質即可求解的情況，下列具體講解：

1、牛頓--萊布尼茲公式

設 f(x) 在 [a,b] 上連續，且 F(x) 為 f(x) 的一個原函數，則

\int_{ a}^{ b}f(x)dx=F(b)-F(a)

牛頓萊布尼茲公式是求解定積分最基本的方法，其基礎是不定積分，忘記的同學請自取：

10分鐘掌握高數上不定積分問題（考研、期末復習均可以用）

例題：

求解 \int_{ 0}^{ 1}xe^xdx

解答：

\int_{ 0}^{ 1}xe^xdx =\int_{ 0}^{ 1}xde^x =[xe^{ x}]_{ 0}^{ 1}-\int_{ 0}^{ 1}e^xdx =e-[e^x]_{ 0}^{ 1} =1

2、定積分的特殊性質

（1）對稱區間上函數的定積分性質

設函數 f(x) 在 [-a,a] 上連續，則 \int_{ -a}^{ a}f(x)dx=\int_{ 0}^{ a}f(x)+f(-x)dx

特別的，當 f(x) 為奇函數時， \int_{ -a}^{ a}f(x)dx=0 ；

當 f(x) 為偶函數時， \int_{ -a}^{ a}f(x)dx=2\int_{ 0}^{ a}f(x)dx

例題：

求解 \int_{ -1}^{ 1}\frac{ x}{ 1+sin^2x}dx

解答：

設被積函數 f(x)=\frac{ x}{ 1+sin^2x} ，f(-x)=\frac{ -x}{ 1+sin^2x} =-f(x) ，由關系式可知，被積函數為奇函數，故該積分為0

例題：

求解 \int_{ -\pi/2}^{ \pi/2}\frac{ sin^2x}{ 1+e^x}dx

解答：

該積分為對稱區間上的積分，所以可以直接用公式：

\int_{ -a}^{ a}f(x)dx=\int_{ 0}^{ a}f(x)+f(-x)dx \int_{ 0}^{ \pi/2}\frac{ sin^2x}{ 1+e^x}+\frac{ sin^2x}{ 1+e^{ -x}}dx \int_{ 0}^{ \pi/2}sin^2xdx =\frac{ 1}{ 2}\frac{ \pi}{ 2} =\frac{ \pi}{ 4}

上述題目兩道題目如果用牛頓萊布尼茲公式求解的話著實很難求出原函數，且耗費時間較多，沒有必要

（2）三角函數定積分性質

設 f(x) 在 [0,1] 上連續，則

a、 \int_{ 0}^{ \pi/2}f(sinx)dx=\int_{ 0}^{ \pi/2}f(買粉絲sx)dx

b、\int_{ 0}^{ \pi/2}sin^nxdx=\int_{ 0}^{ \pi/2}買粉絲s^nxdx =\frac{ n-1}{ n}\frac{ n-3}{ n-2}...\frac{ 2}{ 3} （ n 為奇數）

c、\int_{ 0}^{ \pi/2}sin^nxdx=\int_{ 0}^{ \pi/2}買粉絲s^nxdx=\frac{ n-1}{ n}\frac{ n-3}{ n-2}...\frac{ 1}{ 2}\frac{ \pi}{ 2} （ n 為偶數）

d、\int_{ 0}^{ \pi}f(sinx)dx=2\int_{ 0}^{ \pi/2}f(sinx)dx

e、\int_{ 0}^{ \pi}xf(sinx)dx=\frac{ \pi}{ 2}\int_{ 0}^{ \pi}f(sinx)dx =\pi\int_{ 0}^{ \pi/2}f(sinx)dx

以上幾個式子的證明過程不在此處進行詳說，基本上都是用到二類換元法和分布積分法進行求解的，有興趣的小伙伴可以自己嘗試求解下

（3）定積分的特殊性質

設 f(x) 是以 T 為周期的可積分函數，則

a、 \int_{ a}^{ a+T}f(x)dx=\int_{ 0}^{ T}f(x)dx

b、\int_{ 0}^{ nT}f(x)dx=n\int_{ 0}^{ T}f(x)dx

（4）特殊函數積分

這里重點說一個大部分人經常遇到的一個積分，即 \int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -x^2}dx

初學者遇到該問題時往往會想把原函數給求解出來，但是實際上這個函數是無法求解出原函數的（或者說在高等數學的范疇中是不要求求解出原函數的）

沒有原函數是不是代表該題目無法解答呢，實際上不是的，該積分題目其實求解的方法還是蠻多樣的，接下來介紹兩種方法，涉及到二重積分和概率論的解答思路

a、利用二重積分進行解答：

I=\int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -x^2}dx =\int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -y^2}dy

I^2=\int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -x^2}dx\int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -y^2}dy =\int_{ -\infty}^{ +\infty}\int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -(x^2+y^2)}dxdy =\int_{ 0}^{ 2\pi}d\theta\int_{ 0}^{ +\infty}re^{ -r^2}dr =\pi

I=\sqrt{ \pi}

b、利用概率論中標準正態分布解法進行解答：

標準正態分布概率密度函數如下：

f(x)=\frac{ 1}{ \sqrt{ 2\pi}}e^{ \frac{ -x^2}{ 2}} ， 根據概率密度函數的在正負無窮上積分等于1的性質可得

\int_{ -\infty}^{ +\infty} f(x)dx=1

令 x=\sqrt{ 2}t ，原式變為 \int_{ -\infty}^{ +\infty} \frac{ \sqrt{ 2}}{ \sqrt{ 2\pi}}e^{ -t^2}dt =\int_{ -\infty}^{ +\infty} \frac{ 1}{ \sqrt{ \pi}}e^{ -t^2}dt=1

=\int_{ -\infty}^{ +\infty} e^{ -t^2}dt=\sqrt{ \pi}