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03 概率論每日一題買粉絲(X+y=50,6x+4y=230 要過程)
Instagram刷粉絲, Ins買粉絲自助下單平台, Ins買贊網站可微信支付寶付款2024-06-07 12:13:26【】9人已围观
简介>四、變限積分求導法則設f(x)在[a,b]上連續,則(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt)'=f(\varphi(x))
設 f(x) 在 [a,b] 上連續,則 (\int_{ \psi(x)}^{ \varphi(x)}f(t)dt)'=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)
特別的檔 \varphi(x)=x,\psi(x)=0 時, (\int_{ a}^{ x}f(t)dt)'=f(x)
例題1:
設 f(x) 在 [a,b] 上連續, F(x)=\int_{ 0}^{ x}(x-t)f(t)dt ,求解 F'(x)
解答:
F(x)=x\int_{ 0}^{ x}f(t)dt-\int_{ 0}^{ x}tf(t)dt F'(x)=xf(x)+\int_{ 0}^{ x}f(t)dt-xf(x)=\int_{ 0}^{ x}f(t)dt
例題2:
設 f(x) 在 [a,b] 上連續, F(x)=\int_{ 0}^{ x}f(x-t)dt ,求解 F'(x)
解析:
題設中的被積函數含有 x,t ,有的同學拿到后會直接利用公式進行求導,即
F'(x)=f(0) (常數)
但是細想覺得求導后應該為一個函數表達式,不應該為一個常數
的確,上述的求法是錯誤的,正確的解答方法應該將被積函數的 x,t進行分離,分離開后再進行導數計算
解答:
x-t=k ,當 t=x 時, k=0 ;當 t=0 時, k=x ; dt=-dk
F(x)=\int_{ 0}^{ x}f(x-t)dt=-\int_{ x}^{ 0}f(k)dk =\int_{ 0}^{ x}f(k)dk
F'(x)=f(x)
例題3:
設 f(x)=\int_{ 1}^{ x}e^{ t^2}dt ,求 \int_{ 0}^{ 1}x^2f(x)dx
解答:
\int_{ 0}^{ 1}x^2f(x)dx =\int_{ 0}^{ 1}f(x)d(\frac{ 1}{ 3}x^3) =\frac{ 1}{ 3}x^3f(x)|_{ 0}^{ 1}-\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ 3}x^3f'(x)dx =-\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ 3}x^3f'(x)dx =-\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ 3}x^3e^{ x^2}dx =-\frac{ 1}{ 6}\int_{ 0}^{ 1}x^2e^{ x^2}dx^2 =-\frac{ 1}{ 6}\int_{ 0}^{ 1}xe^{ x}dx =-\frac{ 1}{ 6}\int_{ 0}^{ 1}xde^{ x} =-\frac{ 1}{ 6}xe^x|_{ 0}^{ 1}+\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ 6}e^xdx =-\frac{ 1}{ 6}
五、廣義積分
廣義積分是相對于正常積分所提出來的一個積分概念,即對于積分上下限為無窮大,或是積分限內含有第二類間斷點的積分
1、積分區域無窮大的廣義積分
\int_{ a}^{ +\infty}f(x)dx,\int_{ -\infty}^{ 0}f(x)dx,\int_{ -\infty}^{ +\infty}f(x)dx
以上三個積分均為積分區域無窮大的廣義積分,當該積分的極限存在時,則說明該廣義積分收斂,否則稱其為發散
斂散性判別法:
設 \lim_{ x \rightarrow \infty}{ x^kf(x)dx}=M ( M 為常數),則當 k>1 時極限成立,該廣義積分收斂;當 k\leq1 時極限成立,該廣義積分發散
例題:
求解 \int_{ 1}^{ +\infty}\frac{ 1}{ x}dx
解答:
設 \lim_{ x \rightarrow \infty}{ x^kf(x)dx}=\lim_{ x \rightarrow \infty}{ x^k\frac{ 1}{ x}}=M ,為使該極限成立,可推出 k 的取值為 k\leq1 ,所以根據收斂判別式可知該積分為發散積分
2、積分區間上存在無窮斷點的廣義積分
\int_{ a}^{ b}f(x)dx
函數 f(x) 在 x=a 的左鄰域或 x=b 的右鄰域或 x=a,x=b 的左右鄰域內無界,則該積分稱之為廣義積分,當該積分的極限存在時,則說明該廣義積分收斂,否則稱其為發散
斂散性判別法:
(1)設 f(x) 在x=a 的左鄰域無界,且\lim_{ x \rightarrow a^+}{ (x-a)^kf(x)dx}=M ( M 為常數),則當 k<1 時極限成立,該廣義積分收斂;當 k\geq1 時極限成立,該廣義積分發散
(2)設 f(x) 在x=b 的右鄰域無界,且\lim_{ x \rightarrow b^-}{ (b-x)^kf(x)dx}=M ( M 為常數),則當 k<1 時極限成立,該廣義積分收斂;當 k\geq1 時極限成立,該廣義積分發散
例題:
求解 \int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ x}dx
解答:
被積函數在 x=0 處為無界函數,所以設極限 \lim_{ x \rightarrow 0}{ x^kf(x)dx}=\lim_{ x \rightarrow 0}{ x^k\frac{ 1}{ x}}=M ,為使該極限成立,可推出 k 的取值為 k\geq1 ,所以根據收斂判別式可知該積分為發散積分
3、積分區間內部存在無窮間斷點
\int_{ a}^{ b}f(x)dx
被積函數在 x=c(a<c<b) 的去心鄰域內無界,則 \int_{ a}^{ b}f(x)dx=\int_{ a}^{ c}f(x)dx+\int_{ c}^{ b}f(x)dx ,此處必須將 c 點進行分離考慮,當兩個式子的積分極限都存在時方能判斷整個式子的極限存在
例題:
求解 \int_{ -1}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx
錯誤解法:
\int_{ -1}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx=-\frac{ 1}{ x}|_{ -1}^{ 1}=-2 ,該做法錯誤的地方是未考慮到 x=0 為函數的無窮斷點,直接跳過了斷點進行積分
正確做法:
\int_{ -1}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx=\int_{ -1}^{ 0}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx+\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx,將分離后的兩個積分進行單獨考慮
\int_{ -1}^{ 0}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx 在 x=0 處是無界的,所以考慮 \lim_{ x \rightarrow 0}{ x^kf(x)dx}=\lim_{ x \rightarrow 0}{ x^k\frac{ 1}{ x^2}}=M ,為使該極限成立,可推出 k 的取值為 k\geq2 ,所以根據收斂判別式可知該積分為發散積分
同理可知 \int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx 也是發散積分,所以判斷該積分為發散積分
六、定積分的應用
1、面積
(1)設 D 由 y=f(x)\geq0 , x=a 及 x=b (b>a) 圍成,則 D 的面積為 S=\int_{ a}^{ b}f(x)dx
(2)設 D 由 y=f(x) , y=g(x) , x=a 及 x=b(b>a) 圍成,則 D 的面積為 S=\int_{ a}^{ b}\left| f(x)-g(x) \right|dx
(3)極坐標法的面積 D 求解公式為 S=\frac{ 1}{ 2}\int_{ \alpha}^{ \beta}r^2(\theta)d\theta ;當曲線由 r=r_{ 1}(\theta), r=r_{ 2}(\theta) 組成,則面積 S=\frac{ 1}{ 2}\int_{ \alpha}^{ \beta}[r_{ 2}^{ 2}(\theta)-r_{ 1}^{ 2}(\theta)]d\theta
(4)旋轉曲面的面積
函數 f(x) 繞 x 軸旋轉一周所得到的旋轉體側面的面為 S=2\pi\int_{ a}^{ b}\left| f(x) \right|\sqrt{ 1+f'^2(x)}dx
備注:
以上均是利用 y=f(x) 的函數進行面積求解,有的題目未直接給出 y=f(x) 的關系式,而是給出了參數方程的形式( x=\varphi(t),y=\psi(t) ),可以直接將上述式子中的 f(x),x,dx 等函數進行替換即可
2、體積
(1)y=f(x)繞 x 軸旋轉后的體積: V=\pi\int_{ a}^{ b}f^2(x)dx
(2)y=f(x)繞 y 軸旋轉后的體積: V=2\pi\int_{ a}^{ b}\left| x \right|\left| f(x) \right|dx
3、長度
(1)設 L:y=f(x)(a\leq x\leq b) ,則曲線長度為 l=\int_{ a}^{ b}\sqrt{ 1+f'^2(x)}dx
(2)設 L:x=\varphi(t),y=\psi(t)(\alpha\leq t \leq\beta) ,則曲線長度為 l=\int_{ \alpha}^{ \beta}\sqrt{ \varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt
(3)設 L:r=r(\theta)(\alpha\leq x\leq \beta) ,則曲線長度為 l=\in
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