03 概率論每日一題買粉絲(X＋y＝50，6x＋4y＝230 要過程)

>四、變限積分求導法則

設 f(x) 在 [a,b] 上連續，則 (\int_{ \psi(x)}^{ \varphi(x)}f(t)dt)'=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)

特別的檔 \varphi(x)=x,\psi(x)=0 時， (\int_{ a}^{ x}f(t)dt)'=f(x)

例題1：

設 f(x) 在 [a,b] 上連續， F(x)=\int_{ 0}^{ x}(x-t)f(t)dt ，求解 F'(x)

解答：

F(x)=x\int_{ 0}^{ x}f(t)dt-\int_{ 0}^{ x}tf(t)dt F'(x)=xf(x)+\int_{ 0}^{ x}f(t)dt-xf(x)=\int_{ 0}^{ x}f(t)dt

例題2：

設 f(x) 在 [a,b] 上連續， F(x)=\int_{ 0}^{ x}f(x-t)dt ，求解 F'(x)

解析：

題設中的被積函數含有 x,t ，有的同學拿到后會直接利用公式進行求導，即

F'(x)=f(0) （常數）

但是細想覺得求導后應該為一個函數表達式，不應該為一個常數

的確，上述的求法是錯誤的，正確的解答方法應該將被積函數的 x,t進行分離，分離開后再進行導數計算

解答：

x-t=k ，當 t=x 時， k=0 ；當 t=0 時， k=x ； dt=-dk

F(x)=\int_{ 0}^{ x}f(x-t)dt=-\int_{ x}^{ 0}f(k)dk =\int_{ 0}^{ x}f(k)dk

F'(x)=f(x)

例題3：

設 f(x)=\int_{ 1}^{ x}e^{ t^2}dt ，求 \int_{ 0}^{ 1}x^2f(x)dx

解答：

\int_{ 0}^{ 1}x^2f(x)dx =\int_{ 0}^{ 1}f(x)d(\frac{ 1}{ 3}x^3) =\frac{ 1}{ 3}x^3f(x)|_{ 0}^{ 1}-\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ 3}x^3f'(x)dx =-\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ 3}x^3f'(x)dx =-\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ 3}x^3e^{ x^2}dx =-\frac{ 1}{ 6}\int_{ 0}^{ 1}x^2e^{ x^2}dx^2 =-\frac{ 1}{ 6}\int_{ 0}^{ 1}xe^{ x}dx =-\frac{ 1}{ 6}\int_{ 0}^{ 1}xde^{ x} =-\frac{ 1}{ 6}xe^x|_{ 0}^{ 1}+\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ 6}e^xdx =-\frac{ 1}{ 6}

五、廣義積分

廣義積分是相對于正常積分所提出來的一個積分概念，即對于積分上下限為無窮大，或是積分限內含有第二類間斷點的積分

1、積分區域無窮大的廣義積分

\int_{ a}^{ +\infty}f(x)dx,\int_{ -\infty}^{ 0}f(x)dx,\int_{ -\infty}^{ +\infty}f(x)dx

以上三個積分均為積分區域無窮大的廣義積分，當該積分的極限存在時，則說明該廣義積分收斂，否則稱其為發散

斂散性判別法：

設 \lim_{ x \rightarrow \infty}{ x^kf(x)dx}=M （ M 為常數），則當 k>1 時極限成立，該廣義積分收斂；當 k\leq1 時極限成立，該廣義積分發散

例題：

求解 \int_{ 1}^{ +\infty}\frac{ 1}{ x}dx

解答：

設 \lim_{ x \rightarrow \infty}{ x^kf(x)dx}=\lim_{ x \rightarrow \infty}{ x^k\frac{ 1}{ x}}=M ，為使該極限成立，可推出 k 的取值為 k\leq1 ，所以根據收斂判別式可知該積分為發散積分

2、積分區間上存在無窮斷點的廣義積分

\int_{ a}^{ b}f(x)dx

函數 f(x) 在 x=a 的左鄰域或 x=b 的右鄰域或 x=a，x=b 的左右鄰域內無界，則該積分稱之為廣義積分，當該積分的極限存在時，則說明該廣義積分收斂，否則稱其為發散

斂散性判別法：

（1）設 f(x) 在x=a 的左鄰域無界，且\lim_{ x \rightarrow a^+}{ (x-a)^kf(x)dx}=M （ M 為常數），則當 k<1 時極限成立，該廣義積分收斂；當 k\geq1 時極限成立，該廣義積分發散

（2）設 f(x) 在x=b 的右鄰域無界，且\lim_{ x \rightarrow b^-}{ (b-x)^kf(x)dx}=M （ M 為常數），則當 k<1 時極限成立，該廣義積分收斂；當 k\geq1 時極限成立，該廣義積分發散

例題：

求解 \int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ x}dx

解答：

被積函數在 x=0 處為無界函數，所以設極限 \lim_{ x \rightarrow 0}{ x^kf(x)dx}=\lim_{ x \rightarrow 0}{ x^k\frac{ 1}{ x}}=M ，為使該極限成立，可推出 k 的取值為 k\geq1 ，所以根據收斂判別式可知該積分為發散積分

3、積分區間內部存在無窮間斷點

\int_{ a}^{ b}f(x)dx

被積函數在 x=c(a<c<b) 的去心鄰域內無界，則 \int_{ a}^{ b}f(x)dx=\int_{ a}^{ c}f(x)dx+\int_{ c}^{ b}f(x)dx ，此處必須將 c 點進行分離考慮，當兩個式子的積分極限都存在時方能判斷整個式子的極限存在

例題：

求解 \int_{ -1}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx

錯誤解法：

\int_{ -1}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx=-\frac{ 1}{ x}|_{ -1}^{ 1}=-2 ，該做法錯誤的地方是未考慮到 x=0 為函數的無窮斷點，直接跳過了斷點進行積分

正確做法：

\int_{ -1}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx=\int_{ -1}^{ 0}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx+\int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx，將分離后的兩個積分進行單獨考慮

\int_{ -1}^{ 0}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx 在 x=0 處是無界的，所以考慮 \lim_{ x \rightarrow 0}{ x^kf(x)dx}=\lim_{ x \rightarrow 0}{ x^k\frac{ 1}{ x^2}}=M ,為使該極限成立，可推出 k 的取值為 k\geq2 ，所以根據收斂判別式可知該積分為發散積分

同理可知 \int_{ 0}^{ 1}\frac{ 1}{ x^{ 2}}dx 也是發散積分，所以判斷該積分為發散積分

六、定積分的應用

1、面積

（1）設 D 由 y=f(x)\geq0 ， x=a 及 x=b （b>a） 圍成，則 D 的面積為 S=\int_{ a}^{ b}f(x)dx

（2）設 D 由 y=f(x) ， y=g(x) ， x=a 及 x=b（b>a） 圍成，則 D 的面積為 S=\int_{ a}^{ b}\left| f(x)-g(x) \right|dx

（3）極坐標法的面積 D 求解公式為 S=\frac{ 1}{ 2}\int_{ \alpha}^{ \beta}r^2(\theta)d\theta ；當曲線由 r=r_{ 1}(\theta), r=r_{ 2}(\theta) 組成，則面積 S=\frac{ 1}{ 2}\int_{ \alpha}^{ \beta}[r_{ 2}^{ 2}(\theta)-r_{ 1}^{ 2}(\theta)]d\theta

（4）旋轉曲面的面積

函數 f(x) 繞 x 軸旋轉一周所得到的旋轉體側面的面為 S=2\pi\int_{ a}^{ b}\left| f(x) \right|\sqrt{ 1+f'^2(x)}dx

備注：

以上均是利用 y=f(x) 的函數進行面積求解，有的題目未直接給出 y=f(x) 的關系式，而是給出了參數方程的形式（ x=\varphi(t),y=\psi(t) ），可以直接將上述式子中的 f(x),x,dx 等函數進行替換即可

2、體積

（1）y=f(x)繞 x 軸旋轉后的體積： V=\pi\int_{ a}^{ b}f^2(x)dx

（2）y=f(x)繞 y 軸旋轉后的體積： V=2\pi\int_{ a}^{ b}\left| x \right|\left| f(x) \right|dx

3、長度

（1）設 L:y=f(x)(a\leq x\leq b) ，則曲線長度為 l=\int_{ a}^{ b}\sqrt{ 1+f'^2(x)}dx

（2）設 L:x=\varphi(t),y=\psi(t)(\alpha\leq t \leq\beta) ，則曲線長度為 l=\int_{ \alpha}^{ \beta}\sqrt{ \varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt

（3）設 L:r=r(\theta)(\alpha\leq x\leq \beta) ，則曲線長度為 l=\in

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