您现在的位置是:Instagram刷粉絲, Ins買粉絲自助下單平台, Ins買贊網站可微信支付寶付款 >
05 概率論每日一題買粉絲(X+y=50,6x+4y=230 要過程)
Instagram刷粉絲, Ins買粉絲自助下單平台, Ins買贊網站可微信支付寶付款2024-05-29 16:27:19【】9人已围观
简介也可以點擊下方鏈接加入社群--------------分割線---------------正式進入定積分前,先簡單說下什么是定積分吧:定積分就是函數與,及軸所圍成的區域對應的曲面面積,若曲面面積位于軸
--------------分割線---------------
正式進入定積分前,先簡單說下什么是定積分吧:定積分就是函數 與
,
及 軸所圍成的區域對應的曲面面積,若曲面面積位于 軸下方,則對應的積分值為負
基于以上的描述,下方具體開始講解
一、定積分的定義
上述介紹了定積分表示的幾何意義,下面利用極限的形式看下定積分的定義:
設 在 上有界
①設 ,則 ,其中
②取 ,則“面積”為
③取 ,若 存在,則稱 在上可積分,記為 ,即
注:有的同學會發現一個問題,為何要多引入一個 值,令 時不就可以了么
下面簡單看個圖像
如果僅僅是,那在區間內進行分段時,完全可以在 段上進行 的劃分,然后把最后一段 留給 區段上,這種情況下 該段的條形面積 的值就不會等于曲線與數軸之間圍成的面積了,所以如果僅僅是的條件,累計的值并不等于積分值
注:
(1)極限 \lim_{ \lambda \rightarrow 0}{ \sum_{ i=1}^{ n}{ f(\xi_{ i})\Delta x_{ i}}} 是否存在,與區間的分法和 \xi 的取值無關( \xi 一般取區間的左右端點)
(2)函數 f(x) 在 [a,b] 上有界是函數可積的必要條件,而非充分條件
(3)利用定積分可以求解極限題目,之前在講解極限以及每日一題的時候有提到過相關的原理和操作,下面有鏈接,此處不再重復:
10分鐘掌握高等數學上冊函數極限求解問題(考研、期末復習均可以用)
大學數學每日一題——微積分1208
二、定積分的性質
1、 \int_{ a}^{ a}f(x)dx=0 ,\int_{ a}^{ b}f(x)dx=-\int_{ b}^{ a}f(x)dx
2、若 f(x) 可積,\int_{ a}^{ b}f(x)dx=\int_{ a}^{ c}f(x)dx+\int_{ c}^{ b}f(x)dx
3、若 f(x) 可積且f(x)\geq0,則 \int_{ a}^{ b}f(x)dx\geq0 ;若 f(x) 不恒等于 0 時, \int_{ a}^{ b}f(x)dx>0
4、若 f(x),g(x) 可積>f(x)\geq g(x), \int_{ a}^{ b}f(x)dx\geq\int_{ a}^{ b}g(x)dx ,若 f(x) 不恒等于 g(x) 時, \int_{ a}^{ b}f(x)dx>\int_{ a}^{ b}g(x)dx
5、若 f(x) 可積,則 \left| \int_{ a}^{ b}f(x)dx \right|\leq \int_{ a}^{ b}\left| f(x) \right|dx
6、設f(x) 可積,且 m\leq f(x)\leq M ,則 m(b-a)\leq \int_{ a}^{ b}f(x)dx\leq (b-a)M
7、積分中值定理
設 f(x) 在 [a,b] 上連續,則存在 \xi\in[a,b] 使得 \int_{ a}^{ b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)
注:積分中值定理是針對閉區間的定理,當然也有針對開區間的中值定理,下面進行證明
例題:
設 f(x) 在 [a,b] 上連續,求證存在 \xi\in(a,b) 使得 \int_{ a}^{ b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)
解答:
設 F(x)=\int_{ a}^{ x}f(t)dt , F'(x)=f(x) ,根據拉格朗日中值定理可知:
存在 \xi\in(a,b),使得 \frac{ F(b)-F(a)}{ b-a}=F'(\xi) ,即:
\frac{ \int_{ a}^{ b}f(x)dx-\int_{ a}^{ a}f(x)dx}{ b-a}=f(\xi) ,即
\int_{ a}^{ b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)
大家在進行解題的時候應該注意題目要求的是證明開區間還是閉區間內的中值定理
8、柯西不等式
f(x),g(x) 在 [a,b] 上連續,則
(\int_{ a}^{ b}f(x)g(x)dx)^{ 2}\leq\int_{ a}^{ b}f^{ 2}(x)dx\int_{ a}^{ b}g^{ 2}(x)dx
以上8個性質在證明題中均可以直接使用
三、定積分求解方法
定積分的求解中涉及方法較多,最常見的是牛頓萊布尼茲公式,通過求出原函數來進行求解,除了牛頓,定積分的求解還涉及到很多不需要求解出原函數,而是通過定積分的特殊性質即可求解的情況,下列具體講解:
1、牛頓--萊布尼茲公式
設 f(x) 在 [a,b] 上連續,且 F(x) 為 f(x) 的一個原函數,則
\int_{ a}^{ b}f(x)dx=F(b)-F(a)
牛頓萊布尼茲公式是求解定積分最基本的方法,其基礎是不定積分,忘記的同學請自取:
10分鐘掌握高數上不定積分問題(考研、期末復習均可以用)
例題:
求解 \int_{ 0}^{ 1}xe^xdx
解答:
\int_{ 0}^{ 1}xe^xdx =\int_{ 0}^{ 1}xde^x =[xe^{ x}]_{ 0}^{ 1}-\int_{ 0}^{ 1}e^xdx =e-[e^x]_{ 0}^{ 1} =1
2、定積分的特殊性質
(1)對稱區間上函數的定積分性質
設函數 f(x) 在 [-a,a] 上連續,則 \int_{ -a}^{ a}f(x)dx=\int_{ 0}^{ a}f(x)+f(-x)dx
特別的,當 f(x) 為奇函數時, \int_{ -a}^{ a}f(x)dx=0 ;
當 f(x) 為偶函數時, \int_{ -a}^{ a}f(x)dx=2\int_{ 0}^{ a}f(x)dx
例題:
求解 \int_{ -1}^{ 1}\frac{ x}{ 1+sin^2x}dx
解答:
設被積函數 f(x)=\frac{ x}{ 1+sin^2x} ,f(-x)=\frac{ -x}{ 1+sin^2x} =-f(x) ,由關系式可知,被積函數為奇函數,故該積分為0
例題:
求解 \int_{ -\pi/2}^{ \pi/2}\frac{ sin^2x}{ 1+e^x}dx
解答:
該積分為對稱區間上的積分,所以可以直接用公式:
\int_{ -a}^{ a}f(x)dx=\int_{ 0}^{ a}f(x)+f(-x)dx \int_{ 0}^{ \pi/2}\frac{ sin^2x}{ 1+e^x}+\frac{ sin^2x}{ 1+e^{ -x}}dx \int_{ 0}^{ \pi/2}sin^2xdx =\frac{ 1}{ 2}\frac{ \pi}{ 2} =\frac{ \pi}{ 4}
上述題目兩道題目如果用牛頓萊布尼茲公式求解的話著實很難求出原函數,且耗費時間較多,沒有必要
(2)三角函數定積分性質
設 f(x) 在 [0,1] 上連續,則
a、 \int_{ 0}^{ \pi/2}f(sinx)dx=\int_{ 0}^{ \pi/2}f(買粉絲sx)dx
b、\int_{ 0}^{ \pi/2}sin^nxdx=\int_{ 0}^{ \pi/2}買粉絲s^nxdx =\frac{ n-1}{ n}\frac{ n-3}{ n-2}...\frac{ 2}{ 3} ( n 為奇數)
c、\int_{ 0}^{ \pi/2}sin^nxdx=\int_{ 0}^{ \pi/2}買粉絲s^nxdx=\frac{ n-1}{ n}\frac{ n-3}{ n-2}...\frac{ 1}{ 2}\frac{ \pi}{ 2} ( n 為偶數)
d、\int_{ 0}^{ \pi}f(sinx)dx=2\int_{ 0}^{ \pi/2}f(sinx)dx
e、\int_{ 0}^{ \pi}xf(sinx)dx=\frac{ \pi}{ 2}\int_{ 0}^{ \pi}f(sinx)dx =\pi\int_{ 0}^{ \pi/2}f(sinx)dx
以上幾個式子的證明過程不在此處進行詳說,基本上都是用到二類換元法和分布積分法進行求解的,有興趣的小伙伴可以自己嘗試求解下
(3)定積分的特殊性質
設 f(x) 是以 T 為周期的可積分函數,則
a、 \int_{ a}^{ a+T}f(x)dx=\int_{ 0}^{ T}f(x)dx
b、\int_{ 0}^{ nT}f(x)dx=n\int_{ 0}^{ T}f(x)dx
(4)特殊函數積分
這里重點說一個大部分人經常遇到的一個積分,即 \int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -x^2}dx
初學者遇到該問題時往往會想把原函數給求解出來,但是實際上這個函數是無法求解出原函數的(或者說在高等數學的范疇中是不要求求解出原函數的)
沒有原函數是不是代表該題目無法解答呢,實際上不是的,該積分題目其實求解的方法還是蠻多樣的,接下來介紹兩種方法,涉及到二重積分和概率論的解答思路
a、利用二重積分進行解答:
I=\int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -x^2}dx =\int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -y^2}dy
I^2=\int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -x^2}dx\int_{ -\infty}^{ +\infty}e^{ -y^2}dy =\int_{ -\infty
很赞哦!(6)
相关文章
- 01 短視頻帶貨昵稱怎么取叫什么優選(短視頻帶貨如何做?)
- 03 music 買粉絲 on youtube ever(杰西麥卡特尼Jesse McCartney 資料)
- 01 短視頻帶貨腳本生成器(短視頻帶貨如何寫腳本)
- 01 石家莊眾鳴貿易有限公司面試怎么樣(石家莊眾鳴是騙子公司嗎)
- 03 music youtube music 買粉絲s 2017(歐美組合One Direction資料簡介)
- 03 my youtube 買粉絲 library(幫忙翻譯一段IPHONE廣告)
- 03 my music playlist on youtube pc(有什么好的日本動漫歌曲)
- 03 ros發布和訂閱(ros是什么意思)
- 01 短視頻帶貨達人服務協議解除的方式有幾種(短視頻帶貨和達人種草有什么區別?)
- 01 石家莊樂城創意國際貿易城開發有限公司電話(石家莊樂城創意國際貿易城開發有限公司電話是多少?)
热门文章
站长推荐
03 music.youtube.買粉絲 wild wild west(這個視頻的歌叫什么名字)
03 mp3 download youtube mp3 juice(找一首英文歌的歌名)
03 music youtube 買粉絲 music from the 80s rock(杰西麥卡特尼Jesse McCartney 資料)
03 online youtube 買粉絲 downloader for pc(求E.M.Youtube 買粉絲 download tool 的 注冊碼)
03 search for youtube 買粉絲s on youtube(九年級英語上第一單元測試卷)
03 music playlist youtube 買粉絲 download(今日新聞淺談:Youtube Music 也加入串流音樂服務大混戰)
03 music youtube 買粉絲 music from the 80s uk(杰西麥卡特尼Jesse McCartney 資料)
03 open the youtube app on iphone(openwrt去youtube廣告)