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07 概率論每日一題買粉絲(X+y=50,6x+4y=230 要過程)
Instagram刷粉絲, Ins買粉絲自助下單平台, Ins買贊網站可微信支付寶付款2024-06-09 11:22:23【】5人已围观
简介積求解,有的題目未直接給出y=f(x)的關系式,而是給出了參數方程的形式(x=\varphi(t),y=\psi(t)),可以直接將上述式子中的f(x),x,dx等函數進行替換即可2、
2、體積
(1)y=f(x)繞 x 軸旋轉后的體積: V=\pi\int_{ a}^{ b}f^2(x)dx
(2)y=f(x)繞 y 軸旋轉后的體積: V=2\pi\int_{ a}^{ b}\left| x \right|\left| f(x) \right|dx
3、長度
(1)設 L:y=f(x)(a\leq x\leq b) ,則曲線長度為 l=\int_{ a}^{ b}\sqrt{ 1+f'^2(x)}dx
(2)設 L:x=\varphi(t),y=\psi(t)(\alpha\leq t \leq\beta) ,則曲線長度為 l=\int_{ \alpha}^{ \beta}\sqrt{ \varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt
(3)設 L:r=r(\theta)(\alpha\leq x\leq \beta) ,則曲線長度為 l=\int_{ \alpha}^{ \beta}\sqrt{ r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta
例題1:
求由曲線 y=4-x^2 與 x 軸圍成的部分繞直線 x=3 旋轉一周所成的幾何體的體積
解答:
利用微元法進行求解:取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ,則 dv=2\pi(3-x)(4-x^2)dx ,則 V=\int_{ -2}^{ 2}2\pi(3-x)(4-x^2)dx =64\pi
例題2:
求由曲線 y=4-x^2 與 x 軸圍成的部分繞直線 y=-3 旋轉一周所成的幾何體的體積
解答:
利用微元法進行求解:取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ,則 dv=[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx ,則 V=\int_{ -2}^{ 2}[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx =\int_{ -2}^{ 2}[\pi(7-x)^2-\pi(-3)^2]dx =\int_{ -2}^{ 2}40\pi+\pi x^2dx =2\int_{ 0}^{ 2}40\pi+\pi x^2dx=\frac{ 496}{ 3}\pi
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