07 概率論每日一題買粉絲(X＋y＝50，6x＋4y＝230 要過程)

積求解，有的題目未直接給出 y=f(x) 的關系式，而是給出了參數方程的形式（ x=\varphi(t),y=\psi(t) ），可以直接將上述式子中的 f(x),x,dx 等函數進行替換即可

2、體積

（1）y=f(x)繞 x 軸旋轉后的體積： V=\pi\int_{ a}^{ b}f^2(x)dx

（2）y=f(x)繞 y 軸旋轉后的體積： V=2\pi\int_{ a}^{ b}\left| x \right|\left| f(x) \right|dx

3、長度

（1）設 L:y=f(x)(a\leq x\leq b) ，則曲線長度為 l=\int_{ a}^{ b}\sqrt{ 1+f'^2(x)}dx

（2）設 L:x=\varphi(t),y=\psi(t)(\alpha\leq t \leq\beta) ，則曲線長度為 l=\int_{ \alpha}^{ \beta}\sqrt{ \varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt

（3）設 L:r=r(\theta)(\alpha\leq x\leq \beta) ，則曲線長度為 l=\int_{ \alpha}^{ \beta}\sqrt{ r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta

例題1：

求由曲線 y=4-x^2 與 x 軸圍成的部分繞直線 x=3 旋轉一周所成的幾何體的體積

解答：

利用微元法進行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，則 dv=2\pi(3-x)(4-x^2)dx ，則 V=\int_{ -2}^{ 2}2\pi(3-x)(4-x^2)dx =64\pi

例題2：

求由曲線 y=4-x^2 與 x 軸圍成的部分繞直線 y=-3 旋轉一周所成的幾何體的體積

解答：

利用微元法進行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，則 dv=[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx ，則 V=\int_{ -2}^{ 2}[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx =\int_{ -2}^{ 2}[\pi(7-x)^2-\pi(-3)^2]dx =\int_{ -2}^{ 2}40\pi+\pi x^2dx =2\int_{ 0}^{ 2}40\pi+\pi x^2dx=\frac{ 496}{ 3}\pi

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