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2022-06-14

15分鐘掌握12個極簡統計學分析方法- 玩好一二三四五就能上山打老虎

程曉華

2022-6-12

我的新書《全面庫存管理數學分析》上市后，很多讀者反饋說“看不懂”。這件事一直搞得我很郁悶，但我也很理解，其實很多人，也包括我在內，上大學的時候的3門“高等數學”（高等數學、線性代數、概率與數理統計，一般工科生的必修課，在這里，包括在我的書里統稱“高等數學”）可能都沒有學好，光去應付考試了，考完了也就完了，根本談不上應用的問題，尤其是工作時間一長，除了會算個平均值但也懶得算之外，其他的都還給老師了。

但是，從事供應鏈管理工作，尤其是做最核心的供應鏈計劃管理，必須要跟數據打交道，要不斷地分析數據，挖掘并提煉其背后可能存在的有價值的信號，必要的時候，還可能還需要我們自己用Excel、R語言等工具做一些簡單的統計預測之類的工作，這就不可避免地就要用到一些所謂的“高等數學”的知識，盡管很簡單，但是，你必須要熟練掌握，達到熟能生巧的程度。

我們小時候都知道的一首兒歌，叫“一二三四五，上山打老虎”，我們這里就用y=（1,2,3,4,5）這組數來舉例子，我相信，你如果真正能夠搞懂了這個一二三四五，你就真的敢上山打老虎（玩供應鏈數據分析工作）了！

我們假設這個y=（1,2,3,4,5）是某個公司過去1~5月份（即x =(1,2,3,4,5)）的出貨量，這里的x代表時間、期間，y代表期間出貨量。

我在這里一共列了12個小問題，代表12個數學公式及數據分析方法論：

1. 過去5個月的出貨（算術）平均值（average / mean）

這個問題很簡單，估計99.999%的人都會算，答案是（1+2+3+4+5）/5=3，對應的Excel函數公式是average( )。

但大家不要小看這個簡單的算術平均值（簡稱均值）計算，這是你對客戶需求做到心中有“數”的第一步，這也是我的書第一章反復強調的內容 – 平均值很重要。

按照我個人在供應鏈管理領域管人、管事的經驗來看，如果你能不看電腦、手機，隨口就能說出你所負責的某個產品、SKU或者型號的每周的大概的平均需求，你就基本上是做到了心中有“數”。

你可以馬上用這個“均值”測測你周圍的人，結果可能會讓你會很失望！

2. 截尾（0.2）平均值（trimmed mean）

知道這個所謂的截尾平均值的人會有多少呢？我心里沒太有個數，因為，如果不是學習R語言，我以前也不知道有這么個東西，所以，我就相信很多人也不知道（我這是在做“極大似然估計（Maximum Likelihood Estimation， MLE）”，《全面庫存管理數學分析》第四章的內容），盡管很多人都聽說過它的應用，類似“去掉一個最高分，去掉一個最低分，大S的得分是 ……”。

這個定義在供應鏈管理中也是很有用的，譬如在評估客戶歷史需求的時候，我們可能人為地去掉那些看似不正常的極大值、極小值，至于比例，你自己決定，Excel公式是 trimmean( )，其中trim本身有修剪的意思，mean其實跟average一樣，都是平均值的意思，至于為什么在Excel里面它不是用trimaverage( )來做這個表達式，我們就不得而知了。

3. 中位值（Median）

顧名思義，所謂的中位值就是處于序列中間位置的那個值，在我們這個例子中，一共有5個數，3就是那個中位值，因為它前面兩個哥哥，后面有兩個妹妹，它是老三嘛！

中位值的Excel公式是median（）。

我的理解，這個中位值還有保持“中立”的意思，它不管哥哥妹妹們怎么胡鬧，它還是它，永遠保持不變。它不像那個算術平均值average，屬于墻頭草性質，哥哥妹妹們一鬧騰，它也跟著折騰，所以它才有個外號叫“被平均”。譬如說，你把這個12345改成12346，中位值還是3，但平均值就從3變成了3.2了。所以，很多時候，我們寧肯相信那個中位值，因為這個平均值不太靠譜，據說還害死過人呢！ 我也是聽說的：一個大個子的統計學家在一條平均水深不到1米的河里被淹死了 。

比較理想的情況是這個中位值和平均值是一樣的，或者差不多大小，這樣的數據結構分布一般是比較好，甚至可能就是傳說中的正態分布。

4. 四分位差（Interquartile Range, IQR）

在分析一組數據、一個時間序列的時候，我們通常可以把數據平均分成4段，這樣每段數據占總數據個數的25%，估計這個“四分”就是這個意思，而“四分”之后，自然就是“五裂”，也就是4段5個點，而這5個點我們可以分別命名為Q 0 , Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4 ，Q 0 最小（min），Q 4 最大（max），其它幾個分別處于25%，50%，75%的位置，如此以來，那個Q 2 就是老三，但奇怪的是，這里的Q 2 是指平均值（average），不是指那個中位值，我猜可能是統計學家們搞錯了：其他幾個兄弟姐妹談的都是“位置”上的數嘛！干嘛這個Q 2 就非得是個平均值呢？

所謂四分位差（Interquartile Range，IQR）就是IQR=Q 3 – Q 1 ，在我們這個12345的例子里，IQR= Q 3 - Q 1 = 4 -2 = 2。

在Excel里面有一種圖形叫箱型圖（boxplot），其原理就是這個IQR。只是這個箱子的中間是中位值，而不是那個Q 2 （平均值），這跟我理解的是一個意思，Q 2 就應該該是個中位值嘛！但很討厭的是，這個箱子的兩邊并不嚴格等于Q 1 ，Q 4 ，箱子上下還有兩條邊界線，本來它們就應該是我們下面提到的最小、最大異常值，但它實際上卻是Q 0 ，Q 4 ，這也是我非常不理解的地方 – 這樣的話，這個箱式圖還有多大的意義呢？我理想中的箱式圖應該是這樣的：箱體中間是Q 2 或中位值，上下蓋則是Q 1 ，Q 3 ，以此來顯示數據的集中范圍，或者是表示數據“應該的分布”范圍；上下蓋之外伸出的兩條天線則應該分別是最大、最小異常值，以此圈定來“正常值范圍”，天線之外的則是異常值。我之所以這么認為是因為從供應鏈管理角度，最大值（max）、最小值（min）是沒所謂的，它們本身并不能代表是正常還是異常，我們更關心的是所謂的異常，因為供應鏈管理有所謂“非正常需求（Abnormal Demand）”這一說。

下面我們就來談談這個問題。

5. 異常值（Outlier, 最小異常值、最大異常值）

所謂異常就是不正常，而正常與不正常是相對而言的，既然是相對而言，那就得有個相對的尺度，這個尺度就是最大異常值及最小異常值，范圍內的叫“正常值”，范圍之外的則是異常值。

這個范圍定義為： Q2±1.5IQR。

針對我們的例子y =（1,2,3,4,5），最大異常值就是Q2+1.5IQR=3+1.5×2=6，最小異常值就是Q2 - 1.5IQR=3 - 1.5×2=0，也就是說y里面沒有異常值。但如果把那個5換成6，則6必是“異常”，感興趣的讀者可以用Excel套一下那個公式試試看。

需要搞清楚的是，這個所謂的異常值跟第2個問題提到的截尾均值里面的那個“截尾”部分不是一個概念 – 被“截尾”掉的數值不一定是“異常值”，而異常值則應該是被截尾的對象。關于這個結論，我自己并沒有進行過嚴格的數學證明，但大家不妨多弄一些奇奇怪怪的數字，然后用Excel模擬驗證一下看看。

6****．方差（Variance）

顧名思義，方差就是“差的平方”，統計學上的方差指一組數的中的每個數減掉其平均值之后的差的平方的平均值。

回到我們的例子y=（1，2，3，4，5），其平均值是3，y-3之后的差為：（-2，-1, 0, 1, 2），差的平方為（4,1,0,1,4），其和為10，其平均值為10/5=2或10/（5-1）=2.5，都可以，表現在Excel公式中，一個是var.p( )，var.s( )，其中的p、s分別代表總體（population）、樣本（sample）的意思。在實際應用中，哪個都可以，因為它們是反映數據的相對離散程度，不同的數組之間只要是用同一個公式進行計算并對比衡量即可。

7. 標準差（Standard Deviation）

直接對方差開根號就得到標準差。針對我們的例子，我們可以得到的標準差就是根(2)=1.414或根（2.5）=1.581，或者用Excel公式 stdev.p( )、stdev.s( )計算標準差，兩個結果都可以。

這個所謂的標準差其實就是傳說中的那個西格瑪（σ），一個σ 就是一個標準差。如果你認為需求分布符合正態分布，均值±1σ 就能覆蓋68%左右的數據分布，均值±2σ 覆蓋95%左右的數據分布，均值±3σ 覆蓋99%左右的數據分布；如果你不認為需求分布符合正態分布，那就是隨機分布，但沒有關系，即使這樣，均值±2σ 也能覆蓋87%左右的數據分布，均值±3σ 也能覆蓋95%左右的數據分布，這是根據馬爾可夫不等式（《全面庫存管理數學分析》第三章的內容）得出的結論。

8. 需求波動率

標準差除以算術平均值就是所謂的波動率，統計學上叫CV（Coefficient of Variation, 變異系數）。這個CV對于我們分析客戶或市場需求非常重要，是需求分類的重要指標之一。

針對我們的12345，其需求波動率為1.414/3= 0.471或 1.581/3=0.527。

同樣，這個需求波動率是相對而言的，不同產品或者同一產品來自不同的客戶、不同的分銷中心，其需求波動率可能是不一樣的，在我的書《制造業全面庫存管理》里面，這個波動率被用來做XYZ分類。

波動率也是衡量需求聚集效應的一個非常直觀的指標 – 被合并了的需求的波動率小于合并前單個需求的波動率之和。

9. 一階差分值（difference）

所謂的一階差分就是一組數內部相減，老二減老大，老三減老二，減到最后即可。很簡單，我們的例子得到的一階差分結果就是（1,1,1,1）。

一階差分的意義是什么呢？

還是針對我們的例子，y=（1,2,3,4,5）是一條斜線，而差分后的序列（1,1,1,1）則是一條水平的直線。從供應鏈管理角度，你是喜歡你的客戶給你的需求是斜線呢還是近似水平的直線好一些？

從統計預測角度，不言而喻，水平的直線更好預測一些，因為需求相對平穩。只是需要大家注意的是，統計學上講的“平穩”可能跟大家腦子里面想象的不太一致。這個平

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