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GCN圖卷積網絡入門詳解

在這篇文章中，我們將仔細研究一個名為GCN的著名圖神經網絡。首先，我們先直觀的了解一下它的工作原理，然后再深入了解它背后的數學原理。

字幕組雙語原文： 【GCN】圖卷積網絡(GCN)入門詳解

英語原文： Graph Convolutional Networks (GCN)

翻譯： 聽風1996 、 大表哥

許多問題的本質上都是圖。在我們的世界里，我們看到很多數據都是圖，比如分子、社交網絡、論文引用網絡。

圖的例子。(圖片來自[1])

在圖中，我們有節點特征（代表節點的數據）和圖的結構（表示節點如何連接）。

對于節點來說，我們可以很容易地得到每個節點的數據。但是當涉及到圖的結構時，要從中提取有用的信息就不是一件容易的事情了。例如，如果2個節點彼此距離很近，我們是否應該將它們與其他對節點區別對待呢？高低度節點又該如何處理呢？其實，對于每一項具體的工作，僅僅是特征工程，即把圖結構轉換為我們的特征，就會消耗大量的時間和精力。

圖上的特征工程。(圖片來自[1])

如果能以某種方式同時得到圖的節點特征和結構信息作為輸入，讓機器自己去判斷哪些信息是有用的，那就更好了。

這也是為什么我們需要圖表示學習的原因。

我們希望圖能夠自己學習 "特征工程"。(圖片來自[1])

論文 ：基于圖神經網絡的半監督分類 （2017）[3]

GCN是一種卷積神經網絡，它可以直接在圖上工作，并利用圖的結構信息。

它解決的是對圖（如引文網絡）中的節點（如文檔）進行分類的問題，其中僅有一小部分節點有標簽（半監督學習）。

在Graphs上進行半監督學習的例子。有些節點沒有標簽（未知節點）。

就像"卷積"這個名字所指代的那樣，這個想法來自于圖像，之后引進到圖（Graphs）中。然而，當圖像有固定的結構時，圖（Graphs）就復雜得多。

從圖像到圖形的卷積思想。 (圖片來自[1])

GCN的基本思路：對于每個節點，我們從它的所有鄰居節點處獲取其特征信息，當然也包括它自身的特征。假設我們使用average()函數。我們將對所有的節點進行同樣的操作。最后，我們將這些計算得到的平均值輸入到神經網絡中。

在下圖中，我們有一個引文網絡的簡單實例。其中每個節點代表一篇研究論文，同時邊代表的是引文。我們在這里有一個預處理步驟。在這里我們不使用原始論文作為特征，而是將論文轉換成向量（通過使用NLP嵌入，例如tf-idf）。NLP嵌入，例如TF-IDF)。

讓我們考慮下綠色節點。首先，我們得到它的所有鄰居的特征值，包括自身節點，接著取平均值。最后通過神經網絡返回一個結果向量并將此作為最終結果。

GCN的主要思想。我們以綠色節點為例。首先，我們取其所有鄰居節點的平均值，包括自身節點。然后，將平均值通過神經網絡。請注意，在GCN中，我們僅僅使用一個全連接層。在這個例子中，我們得到2維向量作為輸出（全連接層的2個節點）。

2層GCN的例子：第一層的輸出是第二層的輸入。同樣，注意GCN中的神經網絡僅僅是一個全連接層（圖片來自[2]）。

讓我們認真從數學角度看看它到底是如何起作用的。

首先，我們需要一些注解

我們考慮圖G，如下圖所示。

從圖G中，我們有一個鄰接矩陣A和一個度矩陣D。同時我們也有特征矩陣X。

那么我們怎樣才能從鄰居節點處得到每一個節點的特征值呢？解決方法就在于A和X的相乘。

看看鄰接矩陣的第一行，我們看到節點A與節點E之間有連接，得到的矩陣第一行就是與A相連接的E節點的特征向量（如下圖）。同理，得到的矩陣的第二行是D和E的特征向量之和，通過這個方法，我們可以得到所有鄰居節點的向量之和。

計算 "和向量矩陣 "AX的第一行。

在問題（1）中，我們可以通過在A中增加一個單位矩陣I來解決，得到一個新的鄰接矩陣Ã。

取lambda=1（使得節點本身的特征和鄰居一樣重要），我們就有Ã=A+I，注意，我們可以把lambda當做一個可訓練的參數，但現在只要把lambda賦值為1就可以了，即使在論文中，lambda也只是簡單的賦值為1。

通過給每個節點增加一個自循環，我們得到新的鄰接矩陣

對于問題(2): 對于矩陣縮放，我們通常將矩陣乘以對角線矩陣。在當前的情況下，我們要取聚合特征的平均值，或者從數學角度上說，要根據節點度數對聚合向量矩陣ÃX進行縮放。直覺告訴我們這里用來縮放的對角矩陣是和度矩陣D̃有關的東西（為什么是D̃，而不是D？因為我們考慮的是新鄰接矩陣Ã 的度矩陣D̃，而不再是A了）。

現在的問題變成了我們要如何對和向量進行縮放/歸一化？換句話說：

我們如何將鄰居的信息傳遞給特定節點？我們從我們的老朋友average開始。在這種情況下，D̃的逆矩陣（即，D̃^{ -1}）就會用起作用。基本上，D̃的逆矩陣中的每個元素都是對角矩陣D中相應項的倒數。

例如，節點A的度數為2，所以我們將節點A的聚合向量乘以1/2，而節點E的度數為5，我們應該將E的聚合向量乘以1/5，以此類推。

因此，通過D̃取反和X的乘法，我們可以取所有鄰居節點的特征向量（包括自身節點）的平均值。

到目前為止一切都很好。但是你可能會問加權平均()怎么樣？直覺上，如果我們對高低度的節點區別對待，應該會更好。

但我們只是按行縮放，但忽略了對應的列（虛線框）。

為列增加一個新的縮放器。

在節點B處聚合鄰接節點特征時，我們為節點B本身分配最大的權重（度數為3），為節點E分配最小的權重（度數為5）。

因為我們歸一化了兩次，所以將"-1 "改為"-1/2"

例如，我們有一個多分類問題，有10個類，F 被設置為10。在第2層有了10個維度的向量后，我們將這些向量通過一個softmax函數進行預測。

Loss函數的計算方法很簡單，就是通過對所有有標簽的例子的交叉熵誤差來計算，其中Y_{ l}是有標簽的節點的集合。

層數是指節點特征能夠傳輸的最遠距離。例如，在1層的GCN中，每個節點只能從其鄰居那里獲得信息。每個節點收集信息的過程是獨立進行的，對所有節點來說都是在同一時間進行的。

當在第一層的基礎上再疊加一層時，我們重復收集信息的過程，但這一次，鄰居節點已經有了自己的鄰居的信息（來自上一步）。這使得層數成為每個節點可以走的最大跳步。所以，這取決于我們認為一個節點應該從網絡中獲取多遠的信息，我們可以為#layers設置一個合適的數字。但同樣，在圖中，通常我們不希望走得太遠。設置為6-7跳，我們就幾乎可以得到整個圖，但是這就使得聚合的意義不大。

例： 收集目標節點 i 的兩層信息的過程

在論文中，作者還分別對淺層和深層的GCN進行了一些實驗。在下圖中，我們可以看到，使用2層或3層的模型可以得到最好的結果。此外，對于深層的GCN（超過7層），反而往往得到不好的性能（虛線藍色）。一種解決方案是借助隱藏層之間的殘余連接（紫色線）。

不同層數#的性能。圖片來自論文[3]

論文作者的說明

該框架目前僅限于無向圖（加權或不加權）。但是，可以通過將原始有向圖表示為一個無向的兩端圖，并增加代表原始圖中邊的節點，來處理有向邊和邊特征。

對于GCN，我們似乎可以同時利用節點特征和圖的結構。然而，如果圖中的邊有不同的類型呢？我們是否應該對每種關系進行不同的處理？在這種情況下如何聚合鄰居節點？最近有哪些先進的方法？

在圖專題的下一篇文章中，我們將研究一些更復雜的方法。

如何處理邊的不同關系（兄弟、朋友、......）？

[1] Excellent slides on Graph Representation Learning by Jure Leskovec (Stanford): 買粉絲s://drive.google.買粉絲/file/d/1By3udbOt10moIcSEgUQ0TR9

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